ورودی های88دانشکده فنی و مهندسی گلپایگان

1. تمام ريشه هاي هشتم عدد را بيابيد.

2. اگر f و g توابعي نزولي باشند در مورد يكنوايي gof چه مي توان گفت؟

3. با استفاده از تعريف منطقي حد نشان دهيد تايع زير در هيچ نقطه اي حد ندارد.

4. حدود زير را محاسبه كنيد. (صورت قضاياي استفاده شده را بنويسيد).

5. اگر n عدد طبيعي و f تابعي پيوسته بر باز باشد به طوری که آنگاه موجود است كه .

6. فرض كنيد f تابعي حقيقي باشد كه براي هر x و y داریم در این صورت اگر f در صفر مشتق پذير باشد نشان دهيد تابع f در هر نقطه مشتق پذير است و براي هر x داریم

7. الف ) قضيه مقدار ميانگين را بيان واثبات كنيد .

ب ) نشان دهيد براي هر داریم .

8. پنجره خاصي به شكل يك مستطيل با طول x و عرض y كه در بالاي عرض آن يك نيمدايره قرار دارد را در نظر مي گيريم به طوري كه مقدار نور گذرنده از واحد سطح نيم دايره نصف نور گذرنده از واحد سطح مستطيل باشد . اگر بخواهيم با محيط مفروض p بيشترين نور از پنجره بگذرد ابعاد پنجره چه اندازه بايد باشد

. فرض کنید ، n - امین ریشه ی واحد باشد .

الف : نشان دهید

ب : حاصل عبارت را بیابید.

2. فرض کنید A و B دو زیر مجموعه ی غیر تهی از باشند به قسمی که به ازای هر و هر داشته باشیم a < b و فرض کنید . نشان دهید .

3. با استفاده از تعریف حد، حد مقابل را بیابید :

4. ( بدون استفاده از قاعده ی هوپیتال ) حد های زیر را بیابید :

الف :

که در آن m یک عدد طبیعی است.

ب :

که در آن m و n اعداد طبیعی هستند.

پ :

5. فرض کنید f تابعی پیوسته روی و نقاطی از باشند. نشان دهید نقطه ای مانند هست که

6. نشان دهید اگر f بر پیوسته باشد آنگاه f ماکزیمم و مینیمم خود را روی اختیار می کند.

7. فرض کنید پیوسته باشد. نشان دهید برای دو عدد حقیقی a و b با شرط a < b مجموعه ی زیر در بسته است :

8. فرض کنید تابع حقیقی f بر صعودی باشد. در این صورت نشان دهید شرط لازم و کافی برای آنکه f در پیوسته چپ باشد آن است که

9. نشان دهید هر تابع چند جمله ای با ضرایب حقیقی از درجه ی فرد دارای حداقل یک ریشه ی حقیقی است

1 . حدود زير را در صورت وجود بيابيد:

2. فرض كنيم تابع f بر تعريف شده و عدد ثابت وجود دارد به طوري كه به ازاي هر x و y ،

ثابت كنيد f بر تمام پيوسته است.

3. فرض كنيد تابع f بر پيوسته بوده و بر داراي مشتق دوم باشد. همچنين فرض كنيد a < c < b و سه نقطه و و بر يك خط راست واقع باشند. ثابت كنيد نقطه اي مانند t در بازه ي وجود دارد به طوري كه .

4. نيمكره اي به شعاع R مفروض است. مخروطي به شعاع r آن محيط است. شعاع مخروط را طوري تعيين كنيد كه كمترين حجم ممكن را داشته باشد.

5. مطلوب است ريشه هاي معادله ي

۱. اولا ً : فرض می کنیم S یک زیر مجموعه ی غیر خالی از مجموعه ی اعداد حقیقی باشد که از پایین کراندار است و فرض می کنیم و تعریف می کنیم :

ثابت کنید :

ثانیا ً : اگر A و B دو زیر مجموعه از اعداد حقیقی باشند و نیز نشان دهید

۲. کمک اعداد مختلط مطلوب است محاسبه ی حاصلجمع های زیر

i-

ii -

۳. عدد مختلط را به صورت a+ib بنویسید.

۴. حدهای زیر را حساب کنید ( بدون استفاده از قاعده ی هوپیتال )

۵. اگر داشته باشیم و . مطلوب است محاسبه ی .

۶. اولا ً : اگر تابع f در بازه ی بسته ی پیوسته باشد و اگر . ثابت کنید عددی مانند وجود دارد به طوری که .

ثانیا ً : فرض می کنیم f تابعی است که و در نقطه ی x=1 پیوسته بوده و ثابت کنید تابع f بر پیوسته است.

۷. اولا ً : دیفرانسیل پذیری تابع f را تعریف کرده و تعبیر هندسی کنید. ( با رسم شکل ).

ثانیا ً : اگر و ، مطلوب است محاسبه ی .

ثالثا ً : شخصی با نرخ 5 ا بر ثانیه از چراغ برق خیابانی دور می شود. اگر قد شخص 6 پا و چراغ خیابان به ارتفاع 15 پا باشد، وقتی که او از پای چراغ 10 پا فاصله بگیرد سایه اش با چه نرخی بزرگ خواهد شد

1. منحني و در نقطه ي داراي مماس مشترك هستند. a و b و c را پيدا كنيد.

2. نمودار تابع زير يك قوس در بالاي محور x ها دارد. مساحت زير اين قوس و بالاي محور x ها را پيدا كنيد.

3. حجم حاصل از دوران منحني را بين خطوط x = 1 و x = 3 را محاسبه كنيد.

4. مقدار مجموع زير را با استفاده از فرمول بدست آوريد :

5.  كشاورزي مي خواهد 5 هكتار زمين واقع در طول يك رودخانه را براي 6 اصطبل كوچك به وسيله س يك نرده موازي با رودخانه و 7 نرده عمودي بر آن آماده سازد. نشان دهيد كه اگر بخواهيم طول تمام نرده ها مينيمم شود، طول نرده موازي بايد برابر طول بقيه ي نرده ها باشد.

6. راس يك مثلث متساوي الساقين در مبداء مختصات واقع است و رئوس قاعده اش بر سهمي قرار دارند و قاعده اش موازي محور x ها و بالاي محور x ها است. مساحت بزرگترين مثلث را محاسبه كنيد.